(1)已知矩陣,向量,
(Ⅰ)求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量;
(Ⅱ)求向量α,使得A2α=β.
(2)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1,0)、,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),r>0)
(Ⅰ)求直線AB的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),求r的值.
(3)設(shè)不等式|x-2|>1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b>0的解集相同.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的最大值,以及取得最大值時(shí)x的值.
【答案】分析:(1)(Ⅰ)矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=2-7λ+6,令f(λ)=0,能求出矩陣M的特征值和特征向量.
(Ⅱ)由矩陣,知A2=,設(shè)向量α=,由向量,A2α=β,能求出向量α.
(2)(Ⅰ)由點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1,0)、,求出A,B的普通方程,由此能直線AB的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),r>0),知曲線C的普通方程為x2+y2=r2.再由直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),能求出r.
(3)(Ⅰ)解不等式|x-2|>1,不等式x2-ax+b>0的解集為{x|x>3 或x<1 }.由此能求出a和b.
(Ⅱ)由a=4,b=3,知f(x)=4+3,3≤x≤5.由(4+32=7x-3+24,由此能求出f(x)的最大值為和此時(shí)x值.
解答:解:(1)(Ⅰ)矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=2-7λ+6,
令f(λ)=0,得矩陣M的特征值為1和6.
當(dāng)λ=1時(shí),聯(lián)立,解得2x+3y=0
所以矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為
當(dāng)λ=6時(shí),聯(lián)立,解得x=y
所以矩陣M的屬于特征值3的一個(gè)特征向量
(Ⅱ)∵矩陣,∴=,
設(shè)向量α=,∵,向量,A2α=β,
,解得x=-1,y=1,
∴向量α=
(2)(Ⅰ)∵點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1,0)、,
∴點(diǎn)A,B的普通坐標(biāo)為(1,0),(0,1),
∴直線AB的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0.
(Ⅱ)∵曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),r>0),
∴曲線C的普通方程為x2+y2=r2
∵直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),
∴圓心(0,0)到直線AB的距離d==r,解得r=
(3)(Ⅰ)解不等式|x-2|>1,得x>3 或x<1,
故不等式|x-2|>1的解集為{x|x>3 或x<1 },
由題設(shè)知不等式x2-ax+b>0的解集為{x|x>3 或x<1 }.
∴3+1=a,3×1=b
解得a=4,b=3.
(Ⅱ)∵a=4,b=3,
∴f(x)=4+3,3≤x≤5.
由(4+32=16x-48+45-9x+24
=7x-3+24
=7x-3+24
=7x-3+24
≤28-3+24=49,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取最大值.
∴f(x)的最大值為7,此時(shí)x=4.
點(diǎn)評(píng):(1)考查矩陣的特征值和特征向量的求法;(2)考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用;(3)考查不等式的解法及其應(yīng)用.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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【選做題】(1)已知矩陣A=
11
21
,向量β=
1
2
.求向量α,使得A2α=β.
(2)橢圓中心在原點(diǎn),離心率為
1
2
,點(diǎn)P(x,y)是橢圓上的點(diǎn),若2x-
3
y
的最大值為10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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(1)已知矩陣A=
33
24
,向量β=
6
8
,
(Ⅰ)求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量;
(Ⅱ)求向量α,使得A2α=β.
(2)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1,0)、(1,
π
2
)
,曲線C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
為參數(shù),r>0)
(Ⅰ)求直線AB的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),求r的值.
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(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值,以及取得最大值時(shí)x的值.

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