Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，且A在平面α上，B、C在平面α的同側(cè)，M為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的△AB′C′，則AM與平面α所成角的正弦值的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，$\frac{\sqrt{14}}{4}$]
• D． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，$\frac{\sqrt{14}}{4}$）

Answer 1

分析 推導(dǎo)出線段AM=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，則M到平面α距離為h=$\frac{a+b}{2}$，推導(dǎo)出ab=3，sinα=$\frac{h}{AM}$=$\frac{a+b}{\sqrt{14}}$，由此能求出AM與平面α所成角的正弦值的取值范圍．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，且A在平面α上，
B、C在平面α的同側(cè)，M為BC的中點(diǎn)，
∴線段AM=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，
則M到平面α距離為h=$\frac{a+b}{2}$，
射影三角形兩直角邊的平方分別為4-a²，4-b²，
設(shè)線段BC射影長(zhǎng)為c，則4-a²+4-b²=c²，
又線段AM射影長(zhǎng)為$\frac{c}{2}$，①
∴（$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{a+b}{2}$）²=AM²=$\frac{7}{2}$，②
由①②聯(lián)立解得 ab=3，
所以sinα=$\frac{h}{AM}$=$\frac{a+b}{\sqrt{14}}$≥$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{14}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
當(dāng)a=b=$\frac{3}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)面ABC與面α垂直時(shí)，sinα=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．