Question

8．已知實數(shù)p＞0，直線4x+3y-2p=0與拋物線y²=2px和圓（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{{p}^{2}}{4}$從上到下的交點依次為A，B，C，D，則$\frac{|AC|}{|BD|}$的值為$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），拋物線的焦點為F，由題得|BF|=|CF|=$\frac{p}{2}$．由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=$\frac{p}{2}$+x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+p，同理得|BD|=x₂+p．聯(lián)立直線4x+3y-2p=0與拋物線y²=2px且消去x解出y₁=$\frac{p}{2}$，y₂=-2p，所以x₁=$\frac{p}{8}$，x₂=2p，進而得到答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），拋物線的焦點為F，
由題意得|BF|=|CF|=$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=$\frac{p}{2}$+x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+p，同理得|BD|=x₂+p．
聯(lián)立直線4x+3y-2p=0與拋物線y²=2px且消去x得：2y²+3py-2p²=0
解得：y₁=$\frac{p}{2}$，y₂=-2p，所以x₁=$\frac{p}{8}$，x₂=2p
所以$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{\frac{9}{8}p}{3p}$=$\frac{3}{8}$．
故答案為$\frac{3}{8}$．

點評 解決此類題目的關鍵是對拋物線的定義要熟悉，即拋物線上的點到定點的距離與到定直線的距離相等．