17.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(±\sqrt{2},0)$的橢圓被直線y=x+1截得的弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$-\frac{2}{3}$,則橢圓方程為( 。
A.$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

分析 由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),弦的兩個端點(diǎn)為:A(x1,y1),B(x2,y2).可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1,相減可得:$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{^{2}}$=0,把x1+x2=2×$(-\frac{2}{3})$=-$\frac{4}{3}$,y1+y2=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1,代入及其a2=b2+c2,c=$\sqrt{2}$,聯(lián)立解出即可得出.

解答 解:由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
弦的兩個端點(diǎn)為:A(x1,y1),B(x2,y2).
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1,相減可得:$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{^{2}}$=0,
x1+x2=2×$(-\frac{2}{3})$=-$\frac{4}{3}$,y1+y2=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1,
-$\frac{4}{3{a}^{2}}$+$\frac{2}{3^{2}}$=0,a2=b2+c2,c=$\sqrt{2}$.
聯(lián)立解得:a=2,b=$\sqrt{2}$.
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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12.已知函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)•ex,t∈R.
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(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
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6.設(shè)θ為第二象限角,若tan(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}$,則sinθ+cosθ=( 。
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7.已知兩條不同的直線m,n和平面α,下列說法正確的是( 。
A.如果m?α,n?α,m、n是不在任何同一個平面內(nèi)的直線,那么n∥α
B.如果m?α,n?α,m、n是不在任何同一個平面內(nèi)的直線,那么n與α相交
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D.如果m?α,n∥α,m、n共面,那么m∥n

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