Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}cos2x，x∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{24}}]$．
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）已知銳角△ABC的兩邊長分別是函數(shù)f（x）的最大值和最小值，且△ABC的外接圓半徑為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）利用輔助角公式化簡f（x），求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可答案；
（II）銳角△ABC的兩邊長分別是函數(shù)f（x）的最大值和最小值，可得根據(jù)值求出相應的角度，結(jié)合和與差公式即可求解△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}cos2x，x∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{24}}]$．
化簡可得：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{11π}{24}$]
可得：$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{12}]$，
所以當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最大值為 $f（\frac{5π}{12}）=2$，
當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值為 $f（\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，
函數(shù)f（x）的值域為[$\sqrt{3}$，2]．
（II）銳角△ABC的兩邊長分別是函數(shù)f（x）的最大值和最小值，設AB=c=$\sqrt{3}$，AC=b=2．
由正弦定理，$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=2R$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{sinC}=\frac{2}{sinB}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
△ABC是銳角三角形．
∴cosB=$\frac{1}{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
那么：△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化解能力和性質(zhì)的運用，正弦定理的運用和計算，屬于中檔題．