Question

9．已知四面體P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=2$\sqrt{2}$，PB=AB=2，則球O的表面積為16π．

Answer 1

分析 由題意將四面體P-ABC放在對應(yīng)的長方體中，根據(jù)長方體與外接球的直徑之間關(guān)系，可求出球的半徑，代入球的表面積公式求出答案．

解答 解：由題意知，PB⊥平面ABC，AB⊥AC，
且AC=1，AC=$\sqrt{2}$，PB=AB=2，
如圖所示構(gòu)造長方體：
則長方體的外接球和四面體的外接球是相同的，
即長方體的體對角線等于球的直徑2R，
所以2R=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=4，則R=2，
則球O的表面積S=4πR²=4π×4=16π，
故答案為：16π．

點評 本題考查空間幾何體的外接球問題，利用四面體構(gòu)造長方體是解題的關(guān)鍵，利用長方體的體對角線等于球的直徑是本題的突破點．