Question

10．已知函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{x-2}{x+2}$（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定義域并判定f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)a＞1時，判定f（x）的單調(diào)性并用定義法證明；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時，值域?yàn)閇1+log_an，1+log_am]？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x-2}{x+2}$＞0，可求出f（x）的定義域，利用定義法能求出f（x）在定義域上為奇函數(shù)．
（2）f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，利用定義法能進(jìn)行證明．
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由$\frac{x-2}{x+2}$＞0，可得x＜-2或x＞2，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞）…（1分）
∵$f（{-x}）={log_a}\frac{-x-2}{-x+2}={log_a}\frac{x+2}{x-2}=-{log_a}\frac{x-2}{x+2}=-f（x）$，
∴f（x）在定義域上為奇函數(shù)…（2分）
（2）f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，
f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，
由（1）知只需研究f（x）在（2，+∞）單調(diào)性，
任取x₁，x₂且2＜x₁＜x₂，
$\begin{array}{l}∴f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_a}\frac{{{x_1}-2}}{{{x_1}+2}}-{log_a}\frac{{{x_2}-2}}{{{x_2}+2}}\\={log_a}\frac{{（{x_1}-2）（{x_2}+2）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}\end{array}$
由（x₁-2）（x₂+2）-（x₁+2）（x₂-2）=4（x₁-x₂）＜0，
∴$0＜\frac{{（{x_1}-2）（{x_2}+2）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}＜1$，又a＞1，
則f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增
由（1）知f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，
綜上：f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增…（6分）
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，
$則由m＜n及l(fā)o{g_a}m+1和{log_a}\frac{m-2}{m+2}有意義可知2＜m＜n$，
又log_an+1＜log_am+1，即log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
由（2）知：f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（m，n）單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{m-2}{m+2}=lo{g_a}m+1\\ f（n）={log_a}\frac{n-2}{n+2}={log_a}n+1\end{array}\right.$，
即m，n是方程$lo{g}_{a}\frac{x-2}{x+2}$=log_ax+1的兩個實(shí)根，
于是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，…（8分）
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
則有$\left\{\begin{array}{l}△={（{2a-1}）^2}-8a＞0\\-\frac{2a-1}{2a}＞2\\ g（2）=8a＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}或a＜\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}\\ a＜\frac{1}{6}\\ a＞0\end{array}\right.$，
∴$0＜a＜\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}又0＜a＜1$，
$故存在這樣的實(shí)數(shù)a∈（{0，\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}}）符合題意$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域及奇偶性的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．