【題目】如圖,菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)平面,四邊形為平行四邊形.

(1)求證:平面平面;

(2)若,,點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

1)根據(jù)條件先證得,再由,,于是平面,進(jìn)而可得結(jié)論成立.(2)由題意得兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面與平面的法向量,再求出兩法向量的夾角的余弦值,進(jìn)而可得所求正弦值.

(1)證明:∵四邊形為菱形,

平面平面,

又四邊形為平行四邊形,

,,

,

平面

平面

∴平面平面

(2)∵平面,

,.

,

,

∴四邊形為正方形.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

,,,,,

,,

,

,

設(shè)平面的法向量為,

,令,得

同理可求得平面的一個(gè)法向量

,

∴平面與平面所成角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)已知集合,,寫(xiě)出,的值;

(2)已知集合,其中,證明:有性質(zhì)

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1)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)x軸的垂線,交A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng);

2)設(shè)M的右頂點(diǎn),P右支上任意一點(diǎn),已知點(diǎn)T的坐標(biāo)為,當(dāng)的最小值為時(shí),求t的取值范圍;

3)設(shè)直線的右支交于A,B兩點(diǎn),若雙曲線右支上存在點(diǎn)C使得,求實(shí)數(shù)m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo).

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【題目】已知直線

1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限,求的取值范圍;

2)若直線軸負(fù)半軸于點(diǎn),交軸正半軸于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)的面積為,求的最小值及此時(shí)直線的方程.

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【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300):

空氣質(zhì)量指數(shù)

空氣質(zhì)量等級(jí)

1級(jí)優(yōu)

2級(jí)良

3級(jí)輕度污染

4級(jí)中度污染

5級(jí)重度污染

6級(jí)嚴(yán)重污染

該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.

(Ⅰ)以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為估計(jì)2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良?

(Ⅱ)已知空氣質(zhì)量等級(jí)為1級(jí)時(shí)不需要凈化空氣,空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為1000元,空氣質(zhì)量等量等級(jí)為3級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為2000元.若從這10天樣本中空氣質(zhì)量為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)的天數(shù)中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為3000元的概率.

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(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)若從第二組、第五組的學(xué)生中按組用分層抽樣的方法抽取9名學(xué)生組成中國(guó)海洋實(shí)地考察小隊(duì),出發(fā)前,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從9人中抽取2人作為正、副隊(duì)長(zhǎng),求“抽取的2人為不同組”的概率.

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(1)證明:平面平面.

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