Question

已知△ABC三邊所在直線(xiàn)方程為AB：3x+4y+12=0，BC：4x-3y+16=0，CA：2x+y-2=0，求：
（1）∠ABC的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程；
（2）AB與AC邊上的中位線(xiàn)所在直線(xiàn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線(xiàn)的夾角與到角問(wèn)題

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）由條件解方程組求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)一條直線(xiàn)到另一條直線(xiàn)的夾角公式求得，∠ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率k，用點(diǎn)斜式求得∠ABC的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程．
（2）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)AB與AC邊上的中位線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率等于BC的斜率

4

3

，用點(diǎn)斜式求得AB與AC邊上的中位線(xiàn)所在直線(xiàn)方程．

解答： 解：（1）由

3x+4y+12=0 4x-3y+16=0

 求得

x=-4 y=0

，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0）．
設(shè)∠ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為k，則

k-kBA

1+k•kBA

=

kBC-k

1+kBC•k

，即

k+ 3 4

1+(- 3 4 )•k

=

4 3 -k

1+ 4 3 k

．求得k=

1

7

，或k=-7．
由題意可得，∠ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率k應(yīng)在BA、BC的斜率之間，故取k=

1

7

，
故∠ABC的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y-0=

1

7

（x+4），即 x-7y+4=0．
（2）由

3x+4y+12=0 2x+y-2=0

，求得

x=4 y=-6

，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，-6），故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），
再根據(jù)AB與AC邊上的中位線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率等于BC的斜率

4

3

，
故AB與AC邊上的中位線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為 y+3=

4

3

（x-0），即 4x-3y-9=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，一條直線(xiàn)到另一條直線(xiàn)的夾角公式，用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)的方程，屬于基礎(chǔ)題．