Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點(diǎn)，已知，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).

(1)求曲線(xiàn)的方程;

(2)過(guò)的直線(xiàn)與軸正半軸交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)E交于點(diǎn)軸，過(guò)的另一直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，，，轉(zhuǎn)化，利用橢圓定義求橢圓方程；

（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷，再由，求得，所以，求得，再分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并且根據(jù)求斜率.

解:(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，，，

.

所以曲線(xiàn)是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓(除去與軸的交點(diǎn)).

設(shè)曲線(xiàn)則，

即

所以曲線(xiàn)的方程為.

(2)因?yàn)?/span>軸，所以，設(shè)，

所以，所以，則

因?yàn)?/span>，所以，

所以

所以，所以

設(shè)則

，所以

①直線(xiàn)斜率不存在時(shí)， 方程為

此時(shí)，不符合條件舍去.

②直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為.

聯(lián)立，得

所以，

將代入得

，所以.

所以，

所以直線(xiàn)的方程為或.