Question

平面上點P與點F（0，1）的距離比它到直線y+2=0的距離小1
（1）求出點P的軌跡方程；
（2）過點F作點P的軌跡動弦CD，過C、D兩點分別作點P的軌跡的切線，設(shè)其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件，點P與點F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點的拋物線，從而可求點P的軌跡方程
（2）設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可先求兩切線的斜率，進而可得過拋物線上C、D兩點的切線方程，切線的交點M的坐標(biāo)為設(shè)CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求，M的軌跡方程；利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求
解答：解：（1）由已知條件，點P與點F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點的拋物線．
∵
∴P=2故點P的軌跡方程為x²=4y（6分）
（2）設(shè)，
過拋物線上C、D兩點的切線方程分別是，
∴兩條切線的交點M的坐標(biāo)為
設(shè)CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0
∴x₃x₄=-4故M的坐標(biāo)為
故點M的軌跡為y=-1（10分）
∵
∴
==
而
=
故（14分）
點評：本題目主要考查了拋物線定義的靈活應(yīng)用求解拋物線的方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進行轉(zhuǎn)化，還考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程．