分析 (1)由A,B分別是離心率為√32的橢圓的上頂點與右頂點,右焦點F2到直線AB的距離為2√5−√155,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓E的方程.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),當(dāng)直線l的斜率不存在時,→OP•→OQ=-1.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程x2+4y2-4=0,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由此利用韋達定理、根的判別式、向量的數(shù)量積公式,結(jié)合已知條件能求出→OP•→OQ的取值范圍.
解答 解:(1)由題知e=ca=√32,∴c=√32a,∴b=√a2−c2=12a,
∴A(0,a2),B(a,0),F(xiàn)2(√32a,0),
∴直線AB的方程為x+2y-a=0,
∴√32a−a√12+22=2√5−√155,解得a=2,∴b=1,
∴橢圓E的方程為x24+y2=1.(4分)
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
當(dāng)直線l的斜率不存在時,由題意知P,Q為橢圓的上、下頂點,
可設(shè)P(0,1),Q(0,-1),此時→OP•→OQ=-1.(6分)
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
代入橢圓方程x2+4y2-4=0,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
∴x1+x2=-16k1+4k2,x1x2=121+4k2,(7分)
由△=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,得k2>34.
→OP•→OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=12(1+k2)1+4k2-32k21+4k2+4=16−4k21+4k2=-1+171+4k2,(9分)
由k2>34,得4k2+1>4,∴0<171+4k2<174,
∴-1<-1+171+4k2<134,
∴直線l斜率存在時,→OP•→OQ的取值范圍為(-1,134).(11分)
綜上,→OP•→OQ的取值范圍為[-1,134).(12分)
點評 本題考查橢圓方程求法,考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法,考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 16 | B. | 18 | C. | 48 | D. | 143 |
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