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20.已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2-x,g(x)=lnx.
(1)若a=12,求函數(shù)y=f(x)-2g(x)的極值;
(2)設b>0,f'(x)是f(x)的導數(shù),g'(x)是g(x)的導數(shù),h(x)=f'(x)+bg'(x)+1,圖象的最低
點坐標為(2,8),找出最大的實數(shù)m,滿足對于任意正實數(shù)x1,x2且x1+x2=1,h(x1)h(x2)≥m成立.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(2)求出a,b的值,設u=h(x1)h(x2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1),令t=x1x2,得到t014],則u=4t+80t32t014]上單調遞減,根據(jù)函數(shù)的單調性求出m的最大值即可.

解答 解:(1)當a=12時,f(x)-2g(x)=12x2-x-2lnx,
∴y′=f′(x)-2g′(x)=x-1-2x=x2x+1x,x>0,
令y′>0,解得:x>2,令y′<0,解得:0<x<2,
故函數(shù)y=f(x)-2g(x)在(0,2)遞減,在(2,+∞)遞增,
∴y=f(x)-2g(x)在x=2處取得極小值f(2)-2g(2)=-2ln2,沒有極大值;
(2)由題意,得h(x)=2ax+x,則h(x)=2ax+x≥22ab,
當且僅當x=2a時,等號成立,
{2a=222ab=8,解得:{a=1b=8,
∴h(x)=2x+8x
h(x1)h(x2)≥m恒成立,
設u=h(x1)h(x2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1
=4x1x2+64x1x2+16x21+x22x1x2=4x1x2+64x1x2+16x1+x222x1x2x1x2=4x1x2+80x1x232
令t=x1x2,則t=x1x2x1+x222=14
t014],則u=4t+80t32t014]上單調遞減,
uu14=289
∴最大的實數(shù)數(shù)m=289.

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉化思想,是一道綜合題.

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