Question

5．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，數(shù)列{a_n}是以$\frac{π}{4}$為公差的等差數(shù)列，若f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，則$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 1013

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)：f（x）=2x-cosx+c，由f（0）=-1，解得c=0．可得f（x）=2x-cosx．由f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，可得2a₂-cosa₂+2a₃-cosa₃+2a₄-cosa₄=3π．可得cosa₂+cosa₃+cosa₄=0．即2a₂+2a₃+2a₄=3π，可得：a₂，a₃，a₄．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)：f（x）=2x-cosx+c，∵f（0）=-1，∴-1+c=-1，解得c=0．
∴f（x）=2x-cosx．
∵數(shù)列{a_n}是以$\frac{π}{4}$為公差的等差數(shù)列，∴a_n=a₁+$\frac{π}{4}$（n-1）．
∵f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，∴2a₂-cosa₂+2a₃-cosa₃+2a₄-cosa₄=3π.2a₂+2a₃+2a₄-（cosa₂+cosa₃+cosa₄）=3π．
∴cosa₂+cosa₃+cosa₄=0．即2a₂+2a₃+2a₄=3π，可得：a₂=$\frac{π}{4}$，a₃=$\frac{π}{2}$，a₄=$\frac{3π}{4}$．
∴a₂₀₁₄=a₂+1012×$\frac{π}{4}$=1013×$\frac{π}{4}$，
則$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{2}}$=1013．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、三角函數(shù)求值、導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．