Question

17．已知橢圓 $\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1，過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直線與橢圓相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為9x+y-5=0．

Answer 1

分析 由A，B在橢圓上，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，由中點坐標公式可知：x₁+x₂=1   y₁+y₂=1，即可求得直線的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，利用點斜式方程，即可求得直線AB的方程．

解答 解：已知橢圓：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1，過點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直線與橢圓相交于A，B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）是A、B的中點，
由中點坐標公式可知：x₁+x₂=1   y₁+y₂=1
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
則直線AB的方程為：y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$）
整理得：9x+y-5=0，
故答案為：9x+y-5=0．

點評 本題考查橢圓的標準方程，圓錐曲線的中點弦公式，直線的點斜式公式，考查“點差法”的應用，屬于中檔題．