Question

12．已知偶函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（2，5），設(shè)g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極值，確定g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義列出恒成立的等式，求出b的值；將點(diǎn)（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出函數(shù)的解析式．
（2）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，求出a的值；令g（x）的導(dǎo)函數(shù)大于0得到g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c
解得b=0
又曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)（2，5），得2²+c=5，
有c=1．
∴函數(shù)f（x）=x²+1．
（2）g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
從而g′（x）=3x²+2ax+1，
因x=-1時(shí)函數(shù)y=g（x）取得極值，
故有g(shù)′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得x1=-1，x2=-$\frac{1}{3}$
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)
當(dāng)x∈（-1，-）時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-$\frac{1}{3}$）上為減函數(shù)
當(dāng)x∈（-$\frac{1}{3}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，解決函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，一般利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義找關(guān)系；注意具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減．