Question

2．已知圓C的半徑為3，圓心在直線2x+y=0上且在x軸下方，x軸被圓C截得的弦長為2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過定點為P（0，-3）的直線l，使得以l被圓截得的弦為直徑的圓過原點？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓心C在直線2x+y=0上且在x軸下方，x軸被圓C截得的弦長，再由圓心到x軸的距離，求出圓心C（1，-2），從而可得圓C的方程；
（2）設(shè)l的方程y=kx-3，以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立直線方程與圓的方程，由△＞0恒成立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求k，從而求出直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意設(shè)圓心的坐標(biāo)為C（a，-2a），
則圓的方程為（x-a）²+（y+2a）²=9；
作CA⊥x軸于點A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=$\sqrt{5}$，∴CA=2，
∴|-2a|=2，解得a=±1；
又∵因為點C在x軸的下方，所以a=1，即C（1，-2）
所以圓方程為：（x-1）²+（y+2）²=9
（Ⅱ）設(shè)l的方程y=kx-3，以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁x₂+y₁y₂=0      ①
將直線方程y=kx-3代入圓的方程（x-1）²+（y+2）²=9，
得（k²+1）x²-2（k+1）x-7=0，
要使方程有兩個相異實根，則
△=4（k+1）²+28（k²+1）＞0恒成立，
則x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{-7}{{k}^{2}+1}$，
y₁=kx₁-3，y₂=kx₂-3，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得（k²+1）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0
即有-7-3k•$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}+1}$+9=0，
即2k²+3k-1=0，
解得k=$\frac{-3+\sqrt{13}}{4}$或k=$\frac{-3-\sqrt{13}}{4}$，
故存在直線l滿足條件，且方程為y=$\frac{-3+\sqrt{13}}{4}$x-3或y=$\frac{-3-\sqrt{13}}{4}$x-3．

點評 本題主要考查了直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基本知識的綜合應(yīng)用