Question

6．設(shè)拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，求線段PF的長．

Answer 1

分析 通過設(shè)P（m，n）（不妨令m、n均為正數(shù)），利用△APF為等腰三角形及直角三角形，求出n，m，通過拋物線的定義求解即可．

解答 解：由題可知：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為：F（2，0），
拋物線y²=8x的準(zhǔn)線方程為：x=-2，
不妨設(shè)P（m，n）（m、n均為正數(shù)），則8m=n²，
∴|PA|=2+m，|FA|=$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}$，
由拋物線的定義可知：|PF|=|PA|=2+m，
∴△APF為等腰三角形，
又∠AFx=$\frac{2π}{3}$，∴2p=|FA|cos60°，|FA|=8．
即$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}$=8，n²=48．
得：8m=48，
解得：m=6，|PF|=2+6=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查求線段長度，考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．