Question

11．求所有的正整數(shù)對(duì)（x，y），滿足x^y=y^x-y．

Answer 1

分析 確定x≥y，分類討論，若x=y，則x=y=1．若x＞y≥2，設(shè)x=ky，則k≥3，確定k=3，4，即可得出結(jié)論．

解答 解：顯然（1，1）是解，且方程有解時(shí)，必有x≥y．
若x=y，則x=y=1．
若x＞y≥2，則由x^y=y^x-y得1＜$（\frac{x}{y}）^{y}$=y^x-2y，所以x＞2y，且y|x．
設(shè)x=ky，則k≥3，k^y=y^（k-2）y，所以k=y^k-2．
因y≥2，所以y^k-2≥2^k-2，因k≥5時(shí)，y^k-2≥2^k-2＞k，所以，k=3，4．
當(dāng)k=3時(shí)，y=3，x=9； 當(dāng)k=4時(shí)，y=2，x=8；
故所求所有正整數(shù)對(duì)（x，y）=（1，1），（9，3），（8，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．