【題目】如圖,某城市小區(qū)有一個矩形休閑廣場,AB=20米,廣場的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域,為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松,現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅,其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅MN(寬度不計),點(diǎn)M在線段AD上,并且與曲線CE相切;另一排為單人弧形椅沿曲線CN(寬度不計)擺放.已知雙人靠背直排椅的造價每米為2a元,單人弧形椅的造價每米為a元,記銳角∠NBE=θ,總造價為W元.
(1)試將W表示為θ的函數(shù)W(θ),并寫出cosθ的取值范圍;
(2)如何選取點(diǎn)M的位置,能使總造價W最。

【答案】
(1)解:過N作AB的垂線,垂足為F;過M作NF的垂線,垂足為G.

在Rt△BNF中,BF=16cosθ,則MG=20﹣16cosθ

在Rt△MNG中, ,

由題意易得 ,

因此, ,


(2)解:

令W′(θ)=0, ,因為 ,所以

設(shè)銳角θ1滿足 ,

當(dāng) 時,W,(θ)<0,W(θ)單調(diào)遞減;

當(dāng) 時,W,(θ)>0,W(θ)單調(diào)遞增.

所以當(dāng) ,總造價W最小,最小值為 ,

此時 , ,

因此當(dāng) 米時,能使總造價最小


【解析】(1)過N作AB的垂線,垂足為F;過M作NF的垂線,垂足為G.構(gòu)建直角三角形,通過解直角三角形、勾股定理和弧長公式進(jìn)行解答;(2)將(1)中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變形得到 .W′(θ)=0, ,因為 ,所以 .然后結(jié)合θ的取值范圍進(jìn)行分類討論,利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.
【考點(diǎn)精析】利用三角函數(shù)的最值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知函數(shù),當(dāng)時,取得最小值為;當(dāng)時,取得最大值為,則,

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0x-2y=0的交點(diǎn)P

1)若直線l平行于直線l14x-y+1=0,求l的方程;

2)若直線l垂直于直線l14x-y+1=0,求l的方程.

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【題目】某企業(yè)2017年的純利潤為500萬元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力逐年下降,若不能進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從2018年起每年比上一年純利潤減少20萬元,2018年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第年(以2018年為第一年)的利潤為萬元(為正整數(shù)).

(1)設(shè)從今年起的前年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元(須扣除技術(shù)改造資金),求,的表達(dá)式;

(2)依上述預(yù)測,從2018年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤?

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【題目】某公司計劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).

)求的分布列;

)若要求,確定的最小值;

)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在之中選其一,應(yīng)選用哪個?

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【題目】在公園游園活動中有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球和2個黑球,乙箱子里裝有1個白球和2個黑球,這些球除顏色外完全相同;每次游戲都從這兩個箱子里各隨機(jī)地摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
(1)在一次游戲中:①求摸出3個白球的概率;②求獲獎的概率;
(2)在兩次游戲中,記獲獎次數(shù)為X:①求X的分布列;②求X的數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且直線與曲線交于兩點(diǎn).

(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)把直線軸的交點(diǎn)記為,求的值.

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A.﹣1或1
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