Question

4．已知直線y=ax+1和拋物線y²=4x（F是拋物線的焦點）相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求實數(shù)a的值，使得以AB為直徑的圓過F點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0及a≠0，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由以AB為直徑的圓過F，則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，即可求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）將直線方程代入雙曲線方程，$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
整理得：a²x²-（4-2a）+1=0．
由題意可知，△＞0，即（4-2a）²-4×a²＞0，解得：a＜1，
由當a=0時直線與拋物線只有一個交點，故不成立，
實數(shù)a的取值范圍（-∞，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）可知：x₁+x₂=$\frac{4-2a}{{a}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
由于以AB為直徑的圓過原點，故∠AFB=90°，于是：
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+（ax₁+1）（ax₂+1），
=（a²+1）x₁•x₂+（a-1）（x₁+x₂）+2，
=（a²+1）$\frac{1}{{a}^{2}}$+（a-1）$\frac{4-2a}{{a}^{2}}$+2=0，
解得：a=-3±2$\sqrt{3}$，
由a∈（-∞，0）∪（0，1）
所以實數(shù)a的值為-3-2$\sqrt{3}$或-3+2$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．