Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC, BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE, AC, DE,得到如圖所示的空間幾何體．

　　

(1)求證：AB⊥平面ADC；

(2)若AD＝1，AB＝，求點B到平面ADE的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）證明DC⊥AB，AD⊥AB，即可得到AB⊥平面ADC.

（2）因為AB＝，AD＝1，所以BD＝，依題意△ABD∽△DCB，得到CD＝，利用等體積法即可.

詳解：(1)因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

又BD⊥DC，DC平面BCD，所以DC⊥平面ABD.

因為AB平面ABD，所以DC⊥AB.

又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC平面ADC，所以AB⊥平面ADC.

(2)因為AB＝，AD＝1，所以BD＝.

依題意△ABD∽△DCB，所以＝，即＝.

所以CD＝.

故BC＝3.

由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E為BC的中點，

所以AE＝＝.

同理DE＝＝.

所以S△ADE＝×1×＝.

因為DC⊥平面ABD，

所以VA—BCD＝CD·S△ABD＝.

設點B到平面ADE的距離為d，

則d·S△ADE＝VB—ADE＝VA—BDE＝VA—BCD＝，

所以d＝，即點B到平面ADE的距離為.