Question

2．函數(shù)f（x）=x²-mlnx-nx．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍；
（2）當(dāng)m＞0，n=0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=mx有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'（x）=$2x+\frac{1}{x}-n≥0$恒成立，再參數(shù)變量分離，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求$2x+\frac{1}{x}$的最小值
（2）構(gòu)造新的函數(shù)g（x）=x²-mlnx-mx，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和最小值，方程有唯一解即函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故g（x）_min=0．由$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{2}）=0}\\{g'（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，消去m，得到關(guān)于x₂的方程，再次構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解出x₂，從而得到m的值

解答 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=x²+lnx-nx，
依題意有$f'（x）=2x+\frac{1}{x}-n≥0$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
只需$n≤{（{2x+\frac{1}{x}}）_{min}}$．
因?yàn)?2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)取等，
所以$n≤2\sqrt{2}$．
（2）設(shè)g（x）=f（x）-mx=x²-mlnx-mx，依題意，g（x）=0有唯一解．
$g'（x）=2x-\frac{m}{x}-m=\frac{{2{x^2}-mx-m}}{x}=0$，
由x＞0，m＞0，解得${x_1}=\frac{{m-\sqrt{{m^2}+8m}}}{4}＜0$（舍），${x_2}=\frac{{m+\sqrt{{m^2}+8m}}}{4}$．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）_min=g（x₂）．
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，
則有$\left\{\begin{array}{l}g（{x_2}）=0，\;\;\\ g'（{x_2}）=0，\;\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x_2^2-mln{x_2}-m{x_2}=0，\;\;\\ 2x_2^2-m{x_2}-m=0，\;\;\end{array}\right.$
兩式相減并化簡得2lnx₂+x₂-1=0．
設(shè)h（x）=2lnx+x-1，易知h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，
則h（x）=0恰有一解，即x₂=1，
代入g（x₂）=0得m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．第1問是基礎(chǔ)題，第2問構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，綜合性很強(qiáng)，難度較大