2．用長(zhǎng)為36m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

分析 設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，高為（$\frac{36-4x-8x}{4}$）cm；它的體積為V=2x•x•（9-3x）=18x2-6x3；對(duì)V求導(dǎo)，并令V′（x）=0，得x=1時(shí)，函數(shù)V有最大值，求出此時(shí)長(zhǎng)，寬，高即可．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，高為$\frac{36-4x-8x}{4}$=9-3x（cm）；
它的體積為V=2x•x•（9-3x）=18x2-6x3，（其中0＜x＜2）；
對(duì)V求導(dǎo)，并令V′（x）=0，得36x-18x2=0，解得x=0，或x=2；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，函數(shù)V（x）單調(diào)遞增，當(dāng) x≥2時(shí)，函數(shù)V（x）單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)V（x）有最大值24（cm3），此時(shí)長(zhǎng)為4cm，寬為2cm，高為3cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長(zhǎng)方體模型的應(yīng)用，本題中利用長(zhǎng)方體的體積公式建立三次函數(shù)解析式，再利用求導(dǎo)法求得函數(shù)的最值，是中檔題．

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