Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₁、a₂、a₃，并猜想a_n的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式，通過n=1，2，3求解a₁、a₂、a₃，猜想a_n的通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明猜想即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=$\frac{7}{4}$．
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1結(jié)論成立，
②假設(shè)n=k（k≥1，且k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，∴2a_k+1=2+a_k
∴a_k+1=$\frac{2+ak}{2}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N^*，a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查計(jì)算能力．