Question

12．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點(diǎn)，M是橢圓C上一點(diǎn)，且直線MF₂與x軸垂直，直線MF₁與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．
（1）若直線MN的斜率為$\frac{3}{4}$，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且MN=5F₁N，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$M（{c，\frac{b^2}{a}}）$，則${k_{MN}}={k_{{F_1}M}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{2c}=\frac{3}{4}⇒2{b^2}=3ac$，則2a²-2c²=3ac，整理得：2e²+3e-2=0，即可求得C的離心率；
（2）丨MF₂丨=4，即$\frac{^{2}}{a}$=4，$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，則N（-$\frac{3c}{2}$，-1），代入橢圓方程即可求得a和b，求得橢圓C的方程．

解答 解：（1）橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由直線MF₂與x軸垂直，則$M（{c，\frac{b^2}{a}}）$，
則${k_{MN}}={k_{{F_1}M}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{2c}=\frac{3}{4}⇒2{b^2}=3ac$，
2a²-2c²=3ac，
由e=$\frac{c}{a}$，同時(shí)除以a²，整理得：2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，或e=-2（舍去），
∴C的離心率$\frac{1}{2}$；（5分）
（2）記直線MN與y軸的交點(diǎn)為D（0，2），則丨MF₂丨=4，即$\frac{^{2}}{a}$=4①，
∵丨MN丨=5丨F₁N丨，
∴$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，則N（-$\frac{3c}{2}$，-1），
將N的坐標(biāo)代入橢圓方程得$\frac{{9{c^2}}}{{4{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$②
由①②及c²=a²-b²得a²=49，b²=28，
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{28}=1$．                               （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．