Question

11．已知數列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n，且滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，（n≥2）
（1）求證：數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列；
（2）求：前n項和公式S_n；
（3）證明：當n≥2時，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，由此能證明數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項，2為公差的等差數列．
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）×2=2n-1，能求出前n項和公式S_n．
（3）由$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$＜\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，利用裂項求和法能證明S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

解答 證明：（1）∵數列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n，且滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，（n≥2）
∴當n≥2時，${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴當n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項，2為公差的等差數列．
解：（2）由（1）得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
證明：（3）由（2）知：
當n≥2時，$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$＜\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．