Question

14．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為$\frac{\sqrt{5}}{5}$R、$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出圖象，設(shè)矩形為ABCD，∠AOB=θ，由題意可得矩形的長和寬，可以將矩形的周長表示出來，利用三角函數(shù)化簡可得周長最大值，同時(shí)可以解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答 解：根據(jù)題意，如圖所示：設(shè)矩形為ABCD，∠AOB=θ，
由題意可得矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，
則矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2$\sqrt{5}$R（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosθ+$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinθ）=2$\sqrt{5}$Rsin（θ+φ），
其中sinφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故矩形的周長的最大值等于2$\sqrt{5}$R，此時(shí)sin（θ+φ）=1，
分析可得此時(shí)sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故此時(shí)矩形的長為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R，寬為$\frac{\sqrt{5}}{5}$R，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$R、$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，關(guān)鍵是依據(jù)題意，將矩形的寬和長以及周長用三角函數(shù)表示出來．