平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線.
(Ⅰ)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)m=-1時,對應(yīng)的曲線為C1;對給定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),對應(yīng)的曲線為C2,設(shè)F1、F2是C2的兩個焦點(diǎn).試問:在C1上,是否存在點(diǎn)N,使得△F1NF2的面積S=|m|a2.若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)為M,其坐標(biāo)為(x,y),求出直線A1、MA2M的斜率,并且求出它們的積,即可求出點(diǎn)M軌跡方程,根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,對m進(jìn)行討論,確定曲線的形狀;(Ⅱ)由(I)知,當(dāng)m=-1時,C1方程為x2+y2=a2,當(dāng)m∈(-1,0)∪(0,+∞)時,C2的焦點(diǎn)分別為F1(-a
1+m
,0),F(xiàn)2(a
1+m
,0),假設(shè)在C1上存在點(diǎn)N(x0,y0)(y0≠0),使得△F1NF2的面積S=|m|a2,的充要條件為
x02+y02=a2
1
2
2a
1+m
|y0|=|m|a2  ②
,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),利用數(shù)量積和三角形面積公式可以求得tanF1NF2的值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)為M,其坐標(biāo)為(x,y),
當(dāng)x≠±a時,由條件可得kMA1kMA2=
y
x-a
y
x+a
=m
,
即mx2-y2=ma2(x≠±a),
又A1(-a,0),A2(a,0)的坐標(biāo)滿足mx2-y2=ma2
當(dāng)m<-1時,曲線C的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
 =1
,C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;
當(dāng)m=-1時,曲線C的方程為x2+y2=a2,C是圓心在原點(diǎn)的圓;
當(dāng)-1<m<0時,曲線C的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
=1
,C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
當(dāng)m>0時,曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
ma2
=1
,C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;

(Ⅱ)由(I)知,當(dāng)m=-1時,C1方程為x2+y2=a2
當(dāng)m∈(-1,0)∪(0,+∞)時,C2的焦點(diǎn)分別為F1(-a
1+m
,0),F(xiàn)2(a
1+m
,0),
對于給定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在點(diǎn)N(x0,y0)(y0≠0),使得△F1NF2的面積S=|m|a2
的充要條件為
x02+y02=a2
1
2
2a
1+m
|y0|=|m|a2  ②

由①得0<|y0|≤a,由②得|y0|=
|m|a
1+m
,
當(dāng)0<
|m|a
1+m
≤a,即
1-
5
2
≤m<0
,或0<m≤
1+
5
2
時,
存在點(diǎn)N,使S=|m|a2,
當(dāng)
|m|a
1+m
>a
,即-1<m<
1-
5
2
,或m>
1+
5
2
時,不存在滿足條件的點(diǎn)N.
當(dāng)m∈[
1-
5
2
,0)∪(0,
1+
5
2
]時,由
NF1
=(-a
1+m
-x0,-y0),
NF2
=(a
1+m
-x0,-y0),
可得
NF1
NF2
=x02-(1+m)a2+y02=-ma2
|
NF1
|
=r1,|
NF2
|=r2,∠F1NF2=θ,
則由
NF1
NF2
=r1r2cosθ=-ma2,可得r1r2=-
ma2
cosθ
,
從而s=
1
2
r1r2sinθ=-
ma2sinθ
2cosθ
=-
1
2
ma2tanθ
,于是由S=|m|a2
可得-
1
2
ma2tanθ
=|m|a2,即tanθ=-
2|m|
m

綜上可得:當(dāng)m∈[
1-
5
2
,0)時,在C1上存在點(diǎn)N,使得△F1NF2的面積S=|m|a2,且tanθ=2;
當(dāng)m∈(0,
1+
5
2
]時,在C1上存在點(diǎn)N,使得△F1NF2的面積S=|m|a2,且tanθ=-2;
當(dāng)(-1,
1-
5
2
)∪(
1+
5
2
,+∞)
時,不存在滿足條件的點(diǎn)N.
點(diǎn)評:此題是個難題.考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識,同時考查推理運(yùn)算的能力,以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想.其中問題(II)是一個開放性問題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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記平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0)連線的斜率之積等于常數(shù)m(其中m<0)的動點(diǎn)B的軌跡,加上A1,A2兩點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為C
(I)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m的值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)m=-
3
4
時,過點(diǎn)F(1,0)且斜率為k(k#0)的直線l1交曲線C于M.N兩點(diǎn),若弦MN的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作直線l2交x軸于點(diǎn)Q,且滿足
MN
PQ
=0
.試求
|
PQ
|
|
MN
|
的取值范圍.

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平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,o)(a>0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1,A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.那么當(dāng)m滿足條件
m=-1
m=-1
時,曲線C是圓;當(dāng)m滿足條件
m>0
m>0
 時,曲線C是雙曲線.

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平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1、A2兩點(diǎn)所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.求曲線C的方程,并討論C的形狀與m的位置關(guān)系.

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平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1,A2兩點(diǎn),所成的曲線C可以是圓,橢圓或雙曲線.
(I)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m值的關(guān)系.
(Ⅱ)當(dāng)m=-1時,對應(yīng)的曲線為C1;對給定的m∈(-∞,-1),對應(yīng)的曲線為C2,若曲線C1的斜率為1的切線與曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),且
OA
OB
=2
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求曲線C2的方程.

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