Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A₁，A₂兩點(diǎn)，所成的曲線C可以是圓，橢圓或雙曲線．
（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系．
（Ⅱ）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為C₁；對(duì)給定的m∈（-∞，-1），對(duì)應(yīng)的曲線為C₂，若曲線C₁的斜率為1的切線與曲線C₂相交于A，B兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），由條件可得mx²-y²=4m（x≠±2），對(duì)m分m＜-1，m=-1，當(dāng)-1＜m＜0及m＞0四種情況討論即可；
（Ⅱ）將AB的方程y=x+b，①與橢圓方程

x2

4

+

y2

(-4m)

=1（m＜-1）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理再結(jié)合

OA

•

OB

=2即可求得m的值．

解答：解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≠±2時(shí)，由條件可得kMA1•kMA2=

y

x+2

•

y

x-2

=

y2

x2-4

=m，
即mx²-y²=4m（x≠±2），
又A₁（-2，0），A₂（2，0）的坐標(biāo)滿足mx²-y²=4m，
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=4m，
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

(-4m)

=1，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線C的方程為x²+y²=4，C是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

(-4m)

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＞0時(shí)，曲線C的方程為

x2

4

-

y2

4m

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；…6
（Ⅱ）曲線C₁：x²+y²=4，C₂：為

x2

4

+

y2

(-4m)

=1（m＜-1），
設(shè)圓C₁的斜率為1的切線AB和橢圓C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
令A(yù)B的方程為y=x+b，①
將其代入橢圓C₂的方程并整理得：（1-m）x²+2bx+b²+4m=0，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-

2b

1-m

，：x₁x₂=

b2+4m

1-m

，②
∵

OA

•

OB

=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=2，③
將①代入③并整理得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=2聯(lián)立②得：
b2=

2-10m

1-m

④
因?yàn)橹本�AB和圓C₁相切，
因此2=

|b|

2

，b²=8，
由④得m=-3，
所以曲線C₂的方程3x²+y²=12，即

y2

12

+

x2

4

=1．-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，著重考查圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，突出化歸思想、分類(lèi)討論思想、方程思想的考查，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．