Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中AB=2，PA=．
（1）求證：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD與平面BDD₁B₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁所在直線(xiàn)為x軸，D₁C₁所在直線(xiàn)為y軸，D₁D所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），
P（1，1，4）．
（1）證明：∵=（-1，1，2），=（2，2，0），
∴•=-2+2+0=0，
∴PA⊥B₁D₁．
（2）平面BDD₁B₁的法向量為=（-2，2，0）．=（2，0，0），=（1，1，2）．
設(shè)平面PAD的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥．
∴∴．取=（0，-2，1），
設(shè)所求銳二面角為θ，則
cosθ===．
分析：如圖，以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁所在直線(xiàn)為x軸，D₁C₁所在直線(xiàn)為y軸，D₁D所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，給出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）先計(jì)算出，的坐標(biāo)，驗(yàn)證其內(nèi)積為0即可得出PA⊥B₁D₁；
（2）平面BDD₁B₁的法向量為=（-2，2，0）．故再求出平面PAD的法向量，設(shè)所求銳二面角為θ，由公式cosθ=
點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角以及用空間向量證明面面垂直，正確解題的前提是理解向量?jī)?nèi)積與兩直線(xiàn)位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系及兩平面法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值即兩平面夾角的余弦值，了解知識(shí)之間的銜接點(diǎn)，是正確轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．