Question

已知點 N（1，0）和直線l：x=-1，坐標平面內(nèi)一動點 P到 N的距離等于其到直線l：x=-1的距離．
（1）求動點 P的軌跡方程；
（2）若點 A（t，4）是動點 P的軌跡上的一點，K（m，0）是x軸上的一動點，問m取何值時，直線 A K與圓x²+（y-2）²=4相離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設P（x，y），利用|x+1|=

(x-1)2+y2

，即可得到動點P的軌跡方程．
解法2：判斷點P的軌跡是以點N為焦點，直線l為準線的拋物線求出p，即可得到動點P的軌跡方程．
（2）由A（t，4）在軌跡y²=4x上，求出t=4，得到A坐標，當m=4時，判斷直線AK與圓的位置關系；當m≠4時，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，通過圓心到直線AK的距離與半徑的關系，得到m＞1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．

解答： 解：（1）設P（x，y），則點P到l的距離|x+1|，|PN|=

(x-1)2+y2

…（2分）
由題意得，|x+1|=

(x-1)2+y2

，…（3分）
化簡得y²=4x．所以動點P的軌跡方程為y²=4x．…（5分）
解法2：由題得點P的軌跡是以點N為焦點，直線l為準線的拋物線…（2分）
∴設P的軌跡方程為y²=2px，…（3分）
∴p=2，…（4分）
所以動點P的軌跡方程為y²=4x．…（5分）
（2）由A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．…（6分）
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．…（7分）
當m≠4時，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0．…（8分）
圓x²+（y-2）²=4的圓心（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，…（10分）
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，…（11分）   
 解得m＞1．…（13分）
綜上所述，當m＞1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．…（14分）

點評：本題考查拋物線的標準方程的求法，直線與拋物線方程的綜合應用，直線與圓的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．