Question

18．已知函數(shù)f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（0，π）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)周期公式求出ω，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；即可得x∈（0，π）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）
化簡可得：f（x）=4cosωxsinωxcos$\frac{π}{6}$-4cos²ωxsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin2ωx-2cos²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）-1
∵函數(shù)f（x）的最小正周期是π，即$π=\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=1，
那么f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）-1．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∵x∈（0，π）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（0，π）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{π}{3}$）和（$\frac{5π}{6}，π$）．
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上時(shí)，
2x$-\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當(dāng)2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）的最大值為2sin$\frac{π}{2}-1=1$；
當(dāng)2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）的最小值為2sin$\frac{7π}{6}-1$=-2；
∴f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值為1，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．