Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t\\ y=t-\sqrt{3}\end{array}\right.$，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）求直線l與曲線C的交點的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t能求出直線l的直角坐標(biāo)方程；曲線C的極坐標(biāo)方程化為ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲線C的普通方程．
（2）曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，與直線聯(lián)立方程組，由此能求出直線l與曲線C的交點的直角坐標(biāo)．

解答 解：（1）因為直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t\\ y=t-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴$t=y+\sqrt{3}$，代入$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$，
∴$3x-\sqrt{3}y=3$，即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C的普通方程x²+y²=2x，即x²-2x+y²=0．
（2）曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{（{x-1}）^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線C的交點的直角坐標(biāo)為$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

點評 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程、曲線的普通方程的求法，考查直線與曲線的交點的直角坐標(biāo)的求法，涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．