Question

【題目】已知曲線x2+y=8與x軸交于A，B兩點，動點P與A，B連線的斜率之積為 ．
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）MN是動點P軌跡C的一條弦，且直線OM，ON的斜率之積為 ．求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在方程x2+y=8中令y=0得：x=±2 ，

∴A（﹣2 ，0），B（2 ，0）．

設(shè)P（x，y），則kAPkBP= ，整理得： ，

動點P的軌跡C的方程為

（2）解：設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2 +km +m2= ，

∵kOMkON=﹣ ，∴ ，即 ，

得m2=4k2+2，

∴ =x1x2+y1y2= ，

∴﹣2≤ ＜2，

故 的最小值為﹣2

【解析】（1）由已知曲線方程求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），結(jié)合kAPkBP= 列式求得動點P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線OM，ON的斜率之積為 可得m與k的關(guān)系，進(jìn)一步求出 的范圍得答案．