Question

18．已知函數(shù)f（x）=a-|x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=6時(shí)，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=6時(shí)便可得出x滿足：|x+1|+|x-1|＜3，討論x，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，這樣便可求出每種情況x的范圍，可得不等式的解集；
（Ⅱ）由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1處取得最大值a-2，故有a-2≥2，由此求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知：6-|x-1|-|x+1|＞3．
|x+1|+|x-1|＜3；
①當(dāng)x＞1時(shí)，得x+1+x-1＜3，解得x＜$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，得x+1+1-x＜3，恒成立；
③當(dāng)x＜-1時(shí)，得-x-1-x+1＜3，解得x＞-$\frac{3}{2}$；
∴不等式的解集為：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
解：由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2，該函數(shù)在x=-1取得最小值2，
因?yàn)閒（x）=a-|x-1|-|x+1|．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+a，x＜-1}\\{a-2，-1≤x≤1}\\{a-2x，x＞1}\end{array}\right.$，在x=-1處取得最大值a-2，
所以要使二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，只需a-2≥2，
求得a≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．