【題目】已知橢圓:在左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為點(diǎn),若是面積為的等邊三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,是橢圓上的兩點(diǎn),且,求使的面積最大時(shí)直線的方程(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【答案】解(1);(2)或.
【解析】
(1)由是面積為的等邊三角形,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 的方程組,求出 、,即可得結(jié)果;(2)先證明直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消去,利用弦長(zhǎng)公式可得 ,化簡(jiǎn)得.原點(diǎn)到直線的距離為,的面積,當(dāng)最大時(shí),的面積最大.由,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
(1)由是面積為的等邊三角形,得,
所以,,從而,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由(1)知,當(dāng)軸時(shí),,則為橢圓的短軸,故有,,三點(diǎn)共線,不合題意.
所以直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,點(diǎn),點(diǎn),聯(lián)立方程組消去,得,
所以有,,
則 ,
即,化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?/span>,所以有且.
原點(diǎn)到直線的距離為,的面積,
所以當(dāng)最大時(shí),的面積最大.
因?yàn)?/span>,而,
所以當(dāng)時(shí),取最大值為3,面積的最大值.
把代入,得,所以有,
即直線的方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1) 解關(guān)于x的不等式;
(2) 若函數(shù)的圖像恒在函數(shù)圖像的上方,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】上海市旅游節(jié)剛落下帷幕,在旅游節(jié)期間,甲、乙、丙三位市民顧客分別獲得一些景區(qū)門票的折扣消費(fèi)券,數(shù)量如表1,已知這些景區(qū)原價(jià)和折扣價(jià)如表2(單位:元).
表1:
數(shù)量 | 景區(qū)1 | 景區(qū)2 | 景區(qū)3 |
甲 | 0 | 2 | 2 |
乙 | 3 | 0 | 1 |
丙 | 4 | 1 | 0 |
表2:
門票 | 景區(qū)1 | 景區(qū)2 | 景區(qū)3 |
原價(jià) | 60 | 90 | 120 |
折扣后價(jià) | 40 | 60 | 80 |
(1)按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費(fèi)券數(shù)量矩陣A和三個(gè)景區(qū)的門票折扣后價(jià)格矩陣B;
(2)利用你所學(xué)的矩陣知識(shí),計(jì)算三位市民各獲得多少元折扣?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn),且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設(shè)過(guò)且互相垂直的兩動(dòng)直線,與橢圓交于兩點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高.該原理的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi),若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域,將區(qū)域沿軸的正方向平移8個(gè)單位長(zhǎng)度,得到幾何體如圖一,現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二,其底面積與區(qū)域的面積相等,則此圓柱的體積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,人們更加關(guān)注如何高效地獲取有價(jià)值的信息,網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)近兩年呈現(xiàn)出爆發(fā)式的增長(zhǎng),為了了解網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度,某網(wǎng)站隨機(jī)抽查了歲及以上不足歲的網(wǎng)民共人,調(diào)查結(jié)果如下:
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,能否認(rèn)為網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)?
(2)在上述樣本中用分層抽樣的方法,從支持和反對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的兩組網(wǎng)民中抽取名,若在上述名網(wǎng)民中隨機(jī)選人,求至少1人支持網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的概率.
附:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中,,,點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為,下列結(jié)論正確的是( )
A.的方程為
B.在上存在點(diǎn),使得
C.當(dāng),,三點(diǎn)不共線時(shí),射線是的平分線
D.在三棱錐中,面,且,,,該三棱錐體積最大值為12
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