Question

12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，且取相同的長(zhǎng)度單位．曲線C₁：ρcosθ-2ρsinθ-7=0，和C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（{θ為參數(shù)}）$．
（1）寫出C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂的普通方程；
（2）已知點(diǎn)P（-4，4），Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到曲線C₁距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1進(jìn)行代換即得．
（2）設(shè)出點(diǎn)Q（8cosθ，3sinθ）的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M，利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合三角函數(shù)的有界限可得最小值．

解答 解（1）曲線C₁：ρcosθ-2ρsinθ-7=0，
根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲線C₁：x-2y-7=0，
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（{θ為參數(shù)}）$．消去參數(shù)，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{8}=cosθ}\\{\frac{y}{3}=sinθ}\end{array}\right.$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴曲線C₂：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$，
故得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程x-2y-7=0，曲線C₂的普通方程為$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）設(shè)曲線C₂上的點(diǎn)Q（8cosθ，3sinθ），則PQ中點(diǎn)為M$（{4cosθ-2，\frac{3sinθ+4}{2}}）$，
M到直線x-2y-7=0的距離為$d=\frac{{|{4cosθ-2-3sinθ-4-7}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{5sin（{θ+α}）-13}|}}{{\sqrt{5}}}$，
∴當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，d的最小值為$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題