Question

17．若向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=2，（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$．則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角等于$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影=1，|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的投影的定義以及向量的模計算即可．

解答 解：設向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=2，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=|$\overrightarrow a$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow a$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=2-2$\sqrt{2}$cosθ=0，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ+|$\overrightarrow$|²=2+2×$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+4=10，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$，1，$\sqrt{10}$

點評 本題考查了向量的數(shù)量公式和向量的投影的定義，考查了學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．