Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），則滿足不等式a_nS_n≤2200的最大正整數(shù)n的值為10．

Answer 1

分析 由$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），可得S_n=na_n+1-n（n+1），利用遞推關(guān)系可得：a_n+1-a_n=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式可得a_n，S_n．代入a_nS_n≤2200化簡整理即可得出．

解答 解：∵$\frac{S_n}{n}$=a_n+1-（n+1）（n∈N^*），∴S_n=na_n+1-n（n+1），
∴n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-（n-1）n，相減可得：a_n+1-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1）．
∴a_nS_n≤2200化為：2n•n（n+1）≤2200，即n²（n+1）≤1100=10²×11，
∴n≤10．
∴滿足不等式a_nS_n≤2200的最大正整數(shù)n的值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．