如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,AB=BC=CA=2, M為AB的中點,四點P、A、M、C都在球O的球面上.
(1)證明:平面PAB平面PCM;
(2)證明:線段PC的中點為球O的球心;
(3)若球O的表面積為,求三棱錐P―ABC的體積。
(1)證明:∵AC=BC,M為AB的中點,
∴CM⊥AB。
∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,
∴PA⊥CM。
∵ABPA=A,AB
平面PAB,PB
平面PAB。
∴CM⊥平面PAB。
∵CM平面PCM
∴平面PAB⊥平面PCM。
(2)證明:由(1)知CM⊥平面PAB。
∵PM平面PAB,
∴CM⊥PM
∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴PA⊥AC
取PC的中點N,連接MN、AN,在Rt△PAC中,點N為斜邊PC的中點,
∴MN=PN=NC。
∴PN=NC=AN=MN
∴點N是球O的球心,即線段PC的中點為球O的球心。
(注:本題答案中符號“”等價于“
”)
(3)解:依題意得
∴PC=5,PA
∵AB=AC=BC=3,
∴△ABC的面積
∴三棱錐P―ABC的體積為
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