Question

10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，
（1）若A，B，C成等差數(shù)列，求cosA+cosC的取值范圍；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，且cosB=$\frac{4}{5}$，求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B，C成等差數(shù)列，可得2B=A+C=π-B，解得B．根據A的范圍，利用和差公式即可得出．
（2）a，b，c成等比數(shù)列，可得b²=ac．利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC．cosB=$\frac{4}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C=π-B，解得B=$\frac{π}{3}$．
A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，
∴cosA+cosC=cosA+cos$（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=sin$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
（2）a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac．
∴sin²B=sinAsinC．
∴cosB=$\frac{4}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式、和差公式倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．