Question

2．已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（4）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈R時，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的解析式：
（2）描點畫圖即可，
（3）由圖象直接得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（4）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4，
∴f（-x）=x²-4，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+4，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4，x＜0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-4，x＞0}\end{array}\right.$     
（2）圖象如圖所示：
（3）由圖象可知，
單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）
（4）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x²₁-41-（x²₂-4）
=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵0＜x₁＜x₂，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x²-4在（0，+∞）為增函數(shù)．

點評 本題重點考查了函數(shù)為奇函數(shù)的概念和性質(zhì)等知識，圖象的畫法和識別，以及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．