Question

19．已知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-34，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），且a₁=b₃₇，則數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的最大值為$\frac{1}{{2}^{36}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而對(duì)于數(shù)列{a_n}，由a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，即可得數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)分析可得當(dāng)n=36時(shí)，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，計(jì)算即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-34，公差為1的等差數(shù)列，
則b_n=（-34）+1×（n-1）=n-35，
b₃₇=37-35=2，
對(duì)于數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=b₃₇=2，
則有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2^n-1+2^n-2+…+2）+2=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2ⁿ，
數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)為：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-35}{{2}^{n}}$，
分析可得：當(dāng)n=36時(shí)，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，此時(shí)$\frac{_{36}}{{a}_{36}}$=$\frac{1}{{2}^{36}}$；
故答案為：$\frac{1}{{2}^{36}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．