Question

15．如圖，橢圓x²+$\frac{y^2}{4}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，雙曲線Γ以A、B為頂點(diǎn)，焦距
為2$\sqrt{5}$，點(diǎn)P是Γ上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，線段AQ的中點(diǎn)為M，記直線AP的斜率為k，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y_M的取值范圍；
（3）是否存在定直線l，使得直線BP與直線OM關(guān)于直線l對稱？若存在，求直線l方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求由題意，a=1，c=$\sqrt{5}$，b=2，即可雙曲線Γ的方程；
（2）y_M=$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$=$\frac{4}{k+\frac{4}{k}}$在（0，2）上單調(diào)遞增，即可求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y_M的取值范圍；
（3）求出k_OM+k_BP=0，可得直線BP與OM關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱

解答 解：（1）由題意，a=1，c=$\sqrt{5}$，b=2，
∴雙曲線Γ的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由題意，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入橢圓方程，整理得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0
∴x=-1或x₂=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∴Q（$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），M（-$\frac{{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$）
∴y_M=$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$=$\frac{4}{k+\frac{4}{k}}$在（0，2）上單調(diào)遞增，∴y_M∈（0，1）
（3）由題意，k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{1}}{1+{x}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{1-{x}_{1}}$=4，
同理k_AP•k_OM=-4，
∴k_OM+k_BP=0，
設(shè)直線OM：y=k′x，則直線BP：y=-k′（x-1），解得x=$\frac{1}{2}$，
∵k_OM+k_BP=0，∴直線BP與OM關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．