Question

13．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=4．
（1）求直線AB₁與A₁C₁所成角；
（2）求點B到平面AB₁C的距離．

Answer 1

分析 （1）確定∠CAB₁（或其補集）等于直線AB₁與A₁C₁所成角，再求直線AB₁與A₁C₁所成角；
（2）利用等體積，求點B到平面AB₁C的距離．

解答 解：（1）∵A₁C₁∥AC，
∴∠CAB₁（或其補集）等于直線AB₁與A₁C₁所成角，
∵$A{B_1}=C{B_1}=4\sqrt{2}，AC=4$，
∴$cos∠CA{B_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直線AB₁與A₁C₁所成角為$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
（2）設(shè)點B到平面AB₁C的距離為h，
由${V_{B-A{B_1}C}}={V_{{B_1}-ABC}}$，可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{32-4}$h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×4$，
∴h=$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$．
∴點B到平面AB₁C的距離為$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查異面直線所成角，考查點面距離的計算，考查等體積的運用，屬于中檔題．