Question

19．設(shè)a、b、c、d是4個(gè)整致，且使得m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²是個(gè)非零整數(shù)，求證：|m|一定是個(gè)合數(shù)．

Answer 1

分析 把m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²進(jìn)行因式分解，再由因式分解的結(jié)果及合數(shù)的定義進(jìn)行解答．

解答 證明：要證明|m|是合數(shù)，只要能證出|m|=p•q，p•q均為大于1的正整數(shù)即可．
m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²，
=[ab+cd+$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²-d²）]•[ab+cd-$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²-d²）]，
=$\frac{1}{4}$（2ab+2cd+a²+b²-c²-d²）•（2ab+2cd-a²-b²+c²+d²），
=$\frac{1}{4}$[（a+b）²-（c-d）²]•[（c+d）²-（a-b）²]，
=$\frac{1}{4}$（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）
因?yàn)閙是非零整數(shù)，則 $\frac{1}{4}$（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）是非零整數(shù)．
由于四個(gè)數(shù)a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘積應(yīng)被4整除，
所以四個(gè)數(shù)均為偶數(shù)．
所以可設(shè)a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均為非零整數(shù)．
所以m=（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一個(gè)合數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義、因式分解、奇數(shù)與偶數(shù)的定義、絕對(duì)值的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大