Question

15．已知共面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|．若對每一個確定的向量$\overrightarrow$，記|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值d_min，則當$\overrightarrow$變化時，d_min的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根據向量的平行四邊形法則和三角形的面積公式以及平行四邊形的性質可得b²+2c²=36，即可得到d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：如圖，設$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，
∵$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴M為BD的中點，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•3d•2=3d，
∵|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，
∴AD=BD，
設AB=c，AD=b，
∴在?ABCD中，2[（AB）²+（AC）²]=AC²+BD²，
∴b²+2c²=36，①，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{^{2}-（\frac{c}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$，
將①代入可得，S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{36-\frac{9{c}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴3d=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$$\sqrt{（\frac{16}{2}）^{2}}$=2，當且僅當c²=8時，取等號，
故選：B．

點評 本題考查了向量的在幾何中的應用，考查了學生的轉化能力和計算能力，屬于難題