Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，常數(shù)λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a₁＞0，λ=2，求證：

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,函數(shù)思想,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用方程結(jié)合通項(xiàng)公式求解，（2）把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題求解，注意放縮法的運(yùn)用．

解答： 解：（Ⅰ）取n=1得λ

a

2 1

=2a1，
 若a₁=0則S_n=0當(dāng)n＞2時(shí)，a_n=0，
 若a₁≠0則a1=

2

λ

，所以n＞2時(shí)，
 由2an=

2

λ

+Sn，2an-1=

2

λ

+Sn-1相減得a_n=2a_n-1，
 所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，于是an=

2n

λ

，
 綜上可知：若a₁=0時(shí)，a_n=0，若a₁≠0，則an=

2n

λ

（Ⅱ）a₁＞0，λ=2時(shí)，an=

2n

λ

，
 設(shè)T_n=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

即T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

 所以，T_n=2T_n-T_n=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2^

=4-

n+2

2n-1

＜4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)，不等式，數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．