Question

17．證明：函數(shù)y=2x⁴在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 法一：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
法二：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明即可．

解答 證明：法一：函數(shù)y=2x⁴，可得y′=8x³，因?yàn)閤∈[0，+∞），所以8x³≥0恒成立，
所以函數(shù)y=2x⁴在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
法二：設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=x₁⁴-x₂⁴=（x₁²+x₂²）（x₁-x₂）（x₁+x₂）
因?yàn)?＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)y=x⁴在x∈（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)性的證明，也可以利用單調(diào)性的定義證明．